☛Avec des cartes

Énoncé

Un jeu de 32 cartes est composé de quatre couleurs : carreau, cœur, pique et trèfle.
Chaque couleur est composée de huit valeurs : 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi et As.
Le Valet, la Dame et le Roi sont appelés des figures.

Partie A

On tire au hasard une carte de ce jeu. On regarde sa valeur.
1. Décrire l'univers que l'on notera \(\Omega\).
2. Décrire, à l'aide d'une phrase, un événement élémentaire de votre choix.
3. Décrire, à l'aide d'une phrase, un événement non élémentaire de votre choix qui ne soit ni l'événement impossible, ni l'événement certain. Donner cet événement sous la forme d'un ensemble.
4. On considère l'événement \(A\) : "Tirer une figure".
    a. Écrire cet événement sous la forme d'un ensemble.
    b. Écrire \(\overline A\) sous la forme d'un ensemble.

Partie B

On tire au hasard une carte de ce jeu. On regarde sa couleur et sa valeur. On considère les événements suivants :

• \(A\) : "Tirer une Dame".
  
• \(B\) : "Tirer un cœur".
  

1. Écrire ces événements sous la forme d'un ensemble.
2. Écrire sous la forme d'un ensemble l'événement \(A \cup B\).
3. Écrire sous la forme d'un ensemble l'événement \(A \cap B\).
4. Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils incompatibles ?

Solution

Partie A
1. L'univers est constitué des \(8\) issues qui sont : \(7, 8, 9, 10\), Valet, Dame, Roi, As. 
\(\Omega=\{7, 8, 9, 10,\text{Valet},\text{Dame},\text{Roi},\text{As}\}\)
2. Un événement élémentaire est par exemple : "Tirer une Dame". Cet événement n'est constitué que d'une seule issue.
3. Par exemple, l'événement :"Tirer une valeur numérique". Cet événement est l'ensemble \(\{7,8,9,10\}\).
4. a. \(A=\{\text{Valet},\text{Dame},\text{Roi}\}\)
    b. \(\overline{A}=\{7,8,9,10\}\)

Partie B
Dans cette partie, l'univers est constitué des \(32\) cartes du jeu.
\(\Omega=\{7\spadesuit, 8\spadesuit, 9\spadesuit, 10\spadesuit, \text{Valet}\spadesuit, \text{Dame}\spadesuit, \text{Roi}\spadesuit, \text{As}\spadesuit, 7\clubsuit, 8\clubsuit, 9\clubsuit, 10\clubsuit, \text{Valet}\clubsuit,\\ \text{Dame}\clubsuit, \text{Roi}\clubsuit, \text{As}\clubsuit, 7\heartsuit, 8\heartsuit, 9\heartsuit, 10\heartsuit, \text{Valet}\heartsuit, \text{Dame}\heartsuit, \text{Roi}\heartsuit, \text{As}\heartsuit,7\diamondsuit, 8\diamondsuit, 9\diamondsuit, 10\diamondsuit, \\\text{Valet}\diamondsuit, \text{Dame}\diamondsuit, \text{Roi}\diamondsuit, \text{As}\diamondsuit,\}\)

1. \(A=\{\text{Dame}\spadesuit,\text{Dame}\heartsuit,\text{Dame}\clubsuit,\text{Dame}\diamondsuit\}\)
\(\quad B=\{7\heartsuit, 8\heartsuit, 9\heartsuit, 10\heartsuit, \text{Valet}\heartsuit, \text{Dame}\heartsuit, \text{Roi}\heartsuit, \text{As}\heartsuit\}\)
2. \(A\cup B=\{7\heartsuit, 8\heartsuit, 9\heartsuit, 10\heartsuit, \text{Valet}\heartsuit, \text{Dame}\heartsuit, \text{Roi}\heartsuit, \text{As}\heartsuit,\text{Dame}\clubsuit,\text{Dame}\diamondsuit, \text{Dame}\spadesuit\}\)
3. \(A\cap B=\{\text{Dame}\heartsuit\}\)
4. \(A\cap B\neq\emptyset\) donc les événements \(A\) et \(B\) ne sont pas incompatibles.